有限積分法と時空間格子による計算電磁気学の枠組み

時空間計算電磁気学の構築

電磁界の計算においては，静磁界あるいは低周波磁界に対しては有限要素法，電磁波に対してはFDTD (有限差分時間領域) 法が多く用いられます。両者は異なる離散化手法を用いているように見えますが，マクスウェル方程式を積分形で取り扱う有限積分法の観点からは，両者を同じ枠組みの中で考えることができます。したがって，有限積分法を用いると，有限要素法で用いられるような適応的な空間格子をFDTD法的な電磁波計算に応用することができるようになります。

この有限積分法など，電磁界解析の新しい手法が進展している背景として，マクスウェル方程式の数理的性質に基づいた計算電磁気学の理論面での進歩があります。しかし，そこでは，時間と空間については別々に扱われることが通常で，時間方向には一様な時間刻みによる逐次的な処理にとどまっているのが現状です。

一方で，特殊相対論の立場からは，時空間を統一的に扱うことが自然です。通常の電磁界解析においては相対論は特に必要ありませんが，マクスウェル方程式自体は特殊相対論を考慮してもしなくても変更されないので，通常の電磁界解析においても時空間を統一的に扱うことが可能です。

時空間で計算格子を構成することにより，柔軟な計算格子の生成が可能になり，電磁界計算の自由度は大幅に向上します。たとえば，時空間格子を用いると，必要に応じて時間刻み幅を場所によって変えることが自然に行うことができます。また，移動物体がある場合など空間格子を時間的に変化させて解析する場合，時空間格子を用いれば空間格子の時間的な変化を連続的に取り扱うことができます。

そこで，本研究室では，有限積分法と時空間格子を用いた計算電磁気学の新しい枠組みの構築に取り組んでいます。

　　　　
図1　空間2次元時空間格子の例（時間刻み幅Δtの領域とΔt/2の領域の接続部分; 実線は主格子，破線は双対格子）